Tính chất đường cao trong tam giác

Bài viết này chứng minh một định lý quan trọng trong hình học phẳng: một tam giác có hai đường cao bằng nhau (xuất phát từ hai đỉnh của hai góc nhọn) thì tam giác đó là tam giác cân. Từ đó, ta có thể suy ra rằng một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

Trường hợp 1: Tam giác vuông

Xét tam giác ABC vuông tại A. BA và CA chính là hai đường cao xuất phát từ hai đỉnh góc nhọn B và C. Nếu BA = CA, thì theo định nghĩa, tam giác ABC cân tại A.

Trường hợp 2: Tam giác không vuông

Xét tam giác ABC không có góc vuông. Giả sử hai đường cao BD và CE bằng nhau (BD = CE).

Xét hai tam giác vuông EBC và DCB, ta có:

  • Cạnh huyền BC chung
  • CE = BD (giả thiết)

Theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông của hai tam giác vuông, ta suy ra ∆EBC = ∆DCB. Do đó, góc EBC = góc DCB. Vì vậy, tam giác ABC cân tại A.

Trường hợp 3: Tam giác có ba đường cao bằng nhau

Xét tam giác ABC có ba đường cao BD, CE, AF bằng nhau (BD = CE = AF).

Vì CE = BD, theo chứng minh trên, tam giác ABC cân tại A, suy ra AB = AC.

Tương tự, vì CE = AF, tam giác ABC cân tại B, suy ra AB = BC.

Từ đó, ta có AB = AC = BC. Vậy tam giác ABC là tam giác đều.

Kết luận: Một tam giác có hai đường cao xuất phát từ hai đỉnh của hai góc nhọn bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

Article by Kế Toán Hà Nội

Kế toán hà nội - KTHN tên giao dịch là công ty cổ phần nghiên cứu và hỗ trợ doanh nghiệp hà nội chuyên về đào tạo kế toán thực hành làm dịch vụ kế toán trọn gói

Có thể bạn quan tâm