Học Tập

Giải Toán 8 Bài 11: Hình thoi

Giải bài tập SGK Toán 8 trang 105, 106 giúp các em học sinh lớp 8 xem gợi ý giải các bài tập của Bài 11: Hình thoi Hình học 8 Chương 1. Qua đó các em sẽ nhanh chóng hoàn thiện toàn bộ bài tập của bài 11 Chương I Hình học 8 tập 1.

Lý thuyết bài 11: Hình thoi

1. Định nghĩa

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Hình thoi cũng là một hình bình hành.

Tổng quát: ABCD là hình thoi Leftrightarrow AB=BC=CD=DA

2. Tính chất

Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.

Định lí: Trong hình thoi:

  • Hai đường chéo vuông góc với nhau.
  • Hai đường chéo là các đường phân giác các góc của hình thoi.

3. Dấu hiệu nhận biết hình thoi

  • Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
  • Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi
  • Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
  • Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

Giải bài tập toán 8 trang 105, 106 tập 1

Bài 73 (trang 105, 106 SGK Toán 8 Tập 1)

Tìm các hình thoi trên hình 102.

Bài 73

Gợi ý đáp án:

Các tứ giác ở hình 102a, b, c, e là hình thoi.

– Hình 102a: ABCD là hình thoi vì có AB = BC = CD = DA

– Hình 102b: EFGH là hình thoi vì:

EF = GH và EH = FG ⇒ EFGH là hình bình hành

Lại có EG là tia phân giác của Ê

⇒ EFGH là hình bình hành. (Dấu hiệu 4).

– Hình 102c: KINM là hình thoi vì:

IKMN có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

⇒ IKMN là hình bình hành

Lại có IM ⊥ KN

⇒ IKMN là hình thoi. (Dấu hiệu 3).

– Hình 102e: ADBC là hình thoi vì:

AC = AD = AB (C, B, D cùng thuộc đường tròn tâm A).

BC = BA = BD (A, C, D cùng thuộc đường tròn tâm B)

⇒ AC = CB = BD = DA

⇒ ACBD là hình thoi.

– Tứ giác trên hình 102d không là hình thoi vì 4 cạnh không bằng nhau.

Bài 74 (trang 106 SGK Toán 8 Tập 1)

Hai đường chéo của một hình thoi bằng 8cm và 10cm. Cạnh của hình thoi bằng giá trị nào trong các giá trị sau:

A. 6cm ;      B. sqrt{41} cm ;      C) sqrt{164}cm ;         D) 9cm?

Gợi ý đáp án:

Bài 74

Xét bài toán:

ABCD là hình thoi, O là giao điểm hai đường chéo AC = 10cm; BD = 8cm

Theo tính chất của hình thoi hai đường chéo của hình thoi vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Rightarrow left{ begin{array}{l} OA = dfrac{{AC}}{2}=5cm\ OB = dfrac{{B{rm{D}}}}{2}=4cm end{array} right.

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABO ta có:

eqalign{ & A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} cr&;;;;;;;;= 5^2 + 4^2 cr & Rightarrow AB= sqrt { {5^2}+{4^2} } = sqrt {41} cm cr}

Vậy (B) đúng.

Bài 75 (trang 106 SGK Toán 8 Tập 1)

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của hình thoi.

Gợi ý đáp án:

Bài 75

Giả sử hình chữ nhật ABCD có E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA

Bốn tam giác vuông EAH, EBF, GDH, GCF có:

AE = BE = DG = CG ( = dfrac{1}{2}AB = dfrac{1}{2}CD )

HA = FB = DH = CF ( = dfrac{1}{2}AD = dfrac{1}{2}BC )

Xét ∆EAH và ∆EBF có:

left{ begin{array}{l} A{rm{E}} = BEleft( {cmt} right)\ widehat A = widehat B = {90^0}left( {gt} right)\ AH = BFleft( {cmt} right) end{array} right.

Rightarrow Delta AHE = Delta BEFleft( {c - g - c} right)

Rightarrow EH = EF (2 cạnh tương ứng) (1)

Xét ∆HDG và ∆FCG có:

left{ begin{array}{l} H{rm{D}} = FCleft( {cmt} right)\ widehat D = widehat C = {90^0}left( {gt} right)\ DG = CGleft( {cmt} right) end{array} right.

Rightarrow Delta HDG = Delta FCGleft( {c - g - c} right)

Rightarrow GH = GF (2 cạnh tương ứng) (2)

Xét ∆AHE và ∆DHG có:

left{ begin{array}{l} H{rm{A}} = HDleft( {cmt} right)\ widehat A = widehat D = {90^0}left( {gt} right)\ AE = DGleft( {cmt} right) end{array} right.

Rightarrow Delta AHE = Delta DHGleft( {c - g - c} right)

Rightarrow EH = HG (2 cạnh tương ứng) (3)

Từ (1), (2) và (3) Rightarrow HE=EF = HG = GF

⇒ EFGH là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).

(Trong đó: “cmt” là chứng minh trên)

Bài 76 (trang 106 SGK Toán 8 Tập 1)

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

Gợi ý đáp án:

Bài 76

Xét hình thoi ABCD, gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, AD.

Ta có: EB = EA, FB = FC (giả thiết)

nên EF là đường trung bình của ∆ABC (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác )

Rightarrow EF // AC,EF=dfrac{AC}2 (tính chất đường trung bình của tam giác)

Do HD = HA, GD = GC (giả thiết )

⇒ HG là đường trung bình của ∆ADC (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác )

Rightarrow HG // AC,HG=dfrac{AC}2 (tính chất đường trung bình của tam giác)

⇒ EF // HG (cùng // AC) và EF=HG,(=dfrac{AC}2)

Suy ra EFGH là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Ta có: EB = EA, AH = HD (giả thiết )

nên EH là đường trung bình của ∆ABD (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác )

⇒ EH // BD (tính chất đường trung bình của tam giác)

Ta có EF // AC (chứng minh trên) và BD ⊥ AC (tính chất hình thoi ABCD)

⇒ BD ⊥ EF

Mà EH // BD (chứng minh trên)

⇒ EF ⊥ EH

Rightarrow widehat{FEH} = 90^0

Hình bình hành EFGH có widehat{E} = 90^0 nên là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Bài 77 (trang 106 SGK Toán 8 Tập 1)

Chứng minh rằng:

a) Giao điểm hai đường chéo của hình thoi là tâm đối xứng của hình thoi.

b) Hai đường chéo của hình thoi là hai trục đối xứng của hình thoi.

Gợi ý đáp án:

Bài 77

a) Hình bình hành nhận giao điểm hai đường chéo là tâm đối xứng. Hình thoi cũng là một hình bình hành nên giao điểm hai đường chéo hình thoi là tâm đối xứng của hình thoi.

b) Vì ABCD là hình thoi nên BDbot AC tại O và O là trung điểm của BD và AC

Suy ra BD là đường trung trực của AC và AC là đường trung trực của BD

Do đó A đối xứng với C qua BD.

B và D cũng đối xứng với chính nó qua BD.

Nên BD là trục đối xứng của hình thoi.

Vì AC là đường trung trực của BD nên B đối xứng với D qua AC.

A và C cũng đối xứng với chính nó qua AC.

Nên AC là trục đối xứng của hình thoi.

Bài 78 (trang 106 SGK Toán 8 Tập 1)

Đố. Hình 103 biểu diễn một phần của cửa xếp, gồm những thanh kim loại dài bằng nhau và được liên kết với nhau bởi các chốt tại hai đầu và tại trung điểm. Vì sao tại mỗi vị trí của cửa xếp, các tứ giác trên hình vẽ đều là hình thoi, các điểm chốt I, K, M, N, O nằm trên một đường thẳng?

Bài 78

Gợi ý đáp án:

Bài 78

Các tứ giác IEKF, KGMH là hình thoi (gt)

⇒ KI là phân giác của widehat {EKF}, KM là phân giác của widehat{HKG} (tính chất hình thoi)

widehat{EKF} = widehat{HKG} (đối đỉnh)

Rightarrow widehat{K_{1}} = widehat{K_{2}} = widehat{K_{4}} = widehat{K_{5}}

Do đó widehat{K_{2}} +widehat{K_{3}} + widehat{K_{4}} = widehat{K_{2}} + widehat{K_{3}} + widehat{K_{1}},={180^o}

Suy ra I, K, M thẳng hàng.

Chứng minh tương tự, các điểm I, K, M, N, O cùng nằm trên một đường thẳng.

Giải bài tập SGK Toán 8 trang 105, 106 giúp các em học sinh lớp 8 xem gợi ý giải các bài tập của Bài 11: Hình thoi Hình học 8 Chương 1. Qua đó các em sẽ nhanh chóng hoàn thiện toàn bộ bài tập của bài 11 Chương I Hình học 8 tập 1.

Lý thuyết bài 11: Hình thoi

1. Định nghĩa

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Hình thoi cũng là một hình bình hành.

Tổng quát: ABCD là hình thoi Leftrightarrow AB=BC=CD=DA

2. Tính chất

Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.

Định lí: Trong hình thoi:

  • Hai đường chéo vuông góc với nhau.
  • Hai đường chéo là các đường phân giác các góc của hình thoi.

3. Dấu hiệu nhận biết hình thoi

  • Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
  • Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi
  • Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
  • Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

Giải bài tập toán 8 trang 105, 106 tập 1

Bài 73 (trang 105, 106 SGK Toán 8 Tập 1)

Tìm các hình thoi trên hình 102.

Bài 73

Gợi ý đáp án:

Các tứ giác ở hình 102a, b, c, e là hình thoi.

– Hình 102a: ABCD là hình thoi vì có AB = BC = CD = DA

– Hình 102b: EFGH là hình thoi vì:

EF = GH và EH = FG ⇒ EFGH là hình bình hành

Lại có EG là tia phân giác của Ê

⇒ EFGH là hình bình hành. (Dấu hiệu 4).

– Hình 102c: KINM là hình thoi vì:

IKMN có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

⇒ IKMN là hình bình hành

Lại có IM ⊥ KN

⇒ IKMN là hình thoi. (Dấu hiệu 3).

– Hình 102e: ADBC là hình thoi vì:

AC = AD = AB (C, B, D cùng thuộc đường tròn tâm A).

BC = BA = BD (A, C, D cùng thuộc đường tròn tâm B)

⇒ AC = CB = BD = DA

⇒ ACBD là hình thoi.

– Tứ giác trên hình 102d không là hình thoi vì 4 cạnh không bằng nhau.

Bài 74 (trang 106 SGK Toán 8 Tập 1)

Hai đường chéo của một hình thoi bằng 8cm và 10cm. Cạnh của hình thoi bằng giá trị nào trong các giá trị sau:

A. 6cm ;      B. sqrt{41} cm ;      C) sqrt{164}cm ;         D) 9cm?

Gợi ý đáp án:

Bài 74

Xét bài toán:

ABCD là hình thoi, O là giao điểm hai đường chéo AC = 10cm; BD = 8cm

Theo tính chất của hình thoi hai đường chéo của hình thoi vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Rightarrow left{ begin{array}{l} OA = dfrac{{AC}}{2}=5cm\ OB = dfrac{{B{rm{D}}}}{2}=4cm end{array} right.

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABO ta có:

eqalign{ & A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} cr&;;;;;;;;= 5^2 + 4^2 cr & Rightarrow AB= sqrt { {5^2}+{4^2} } = sqrt {41} cm cr}

Vậy (B) đúng.

Bài 75 (trang 106 SGK Toán 8 Tập 1)

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của hình thoi.

Gợi ý đáp án:

Bài 75

Giả sử hình chữ nhật ABCD có E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA

Bốn tam giác vuông EAH, EBF, GDH, GCF có:

AE = BE = DG = CG ( = dfrac{1}{2}AB = dfrac{1}{2}CD )

HA = FB = DH = CF ( = dfrac{1}{2}AD = dfrac{1}{2}BC )

Xét ∆EAH và ∆EBF có:

left{ begin{array}{l} A{rm{E}} = BEleft( {cmt} right)\ widehat A = widehat B = {90^0}left( {gt} right)\ AH = BFleft( {cmt} right) end{array} right.

Rightarrow Delta AHE = Delta BEFleft( {c - g - c} right)

Rightarrow EH = EF (2 cạnh tương ứng) (1)

Xét ∆HDG và ∆FCG có:

left{ begin{array}{l} H{rm{D}} = FCleft( {cmt} right)\ widehat D = widehat C = {90^0}left( {gt} right)\ DG = CGleft( {cmt} right) end{array} right.

Rightarrow Delta HDG = Delta FCGleft( {c - g - c} right)

Rightarrow GH = GF (2 cạnh tương ứng) (2)

Xét ∆AHE và ∆DHG có:

left{ begin{array}{l} H{rm{A}} = HDleft( {cmt} right)\ widehat A = widehat D = {90^0}left( {gt} right)\ AE = DGleft( {cmt} right) end{array} right.

Rightarrow Delta AHE = Delta DHGleft( {c - g - c} right)

Rightarrow EH = HG (2 cạnh tương ứng) (3)

Từ (1), (2) và (3) Rightarrow HE=EF = HG = GF

⇒ EFGH là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).

(Trong đó: “cmt” là chứng minh trên)

Bài 76 (trang 106 SGK Toán 8 Tập 1)

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

Gợi ý đáp án:

Bài 76

Xét hình thoi ABCD, gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, AD.

Ta có: EB = EA, FB = FC (giả thiết)

nên EF là đường trung bình của ∆ABC (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác )

Rightarrow EF // AC,EF=dfrac{AC}2 (tính chất đường trung bình của tam giác)

Do HD = HA, GD = GC (giả thiết )

⇒ HG là đường trung bình của ∆ADC (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác )

Rightarrow HG // AC,HG=dfrac{AC}2 (tính chất đường trung bình của tam giác)

⇒ EF // HG (cùng // AC) và EF=HG,(=dfrac{AC}2)

Suy ra EFGH là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Ta có: EB = EA, AH = HD (giả thiết )

nên EH là đường trung bình của ∆ABD (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác )

⇒ EH // BD (tính chất đường trung bình của tam giác)

Ta có EF // AC (chứng minh trên) và BD ⊥ AC (tính chất hình thoi ABCD)

⇒ BD ⊥ EF

Mà EH // BD (chứng minh trên)

⇒ EF ⊥ EH

Rightarrow widehat{FEH} = 90^0

Hình bình hành EFGH có widehat{E} = 90^0 nên là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Bài 77 (trang 106 SGK Toán 8 Tập 1)

Chứng minh rằng:

a) Giao điểm hai đường chéo của hình thoi là tâm đối xứng của hình thoi.

b) Hai đường chéo của hình thoi là hai trục đối xứng của hình thoi.

Gợi ý đáp án:

Bài 77

a) Hình bình hành nhận giao điểm hai đường chéo là tâm đối xứng. Hình thoi cũng là một hình bình hành nên giao điểm hai đường chéo hình thoi là tâm đối xứng của hình thoi.

b) Vì ABCD là hình thoi nên BDbot AC tại O và O là trung điểm của BD và AC

Suy ra BD là đường trung trực của AC và AC là đường trung trực của BD

Do đó A đối xứng với C qua BD.

B và D cũng đối xứng với chính nó qua BD.

Nên BD là trục đối xứng của hình thoi.

Vì AC là đường trung trực của BD nên B đối xứng với D qua AC.

A và C cũng đối xứng với chính nó qua AC.

Nên AC là trục đối xứng của hình thoi.

Bài 78 (trang 106 SGK Toán 8 Tập 1)

Đố. Hình 103 biểu diễn một phần của cửa xếp, gồm những thanh kim loại dài bằng nhau và được liên kết với nhau bởi các chốt tại hai đầu và tại trung điểm. Vì sao tại mỗi vị trí của cửa xếp, các tứ giác trên hình vẽ đều là hình thoi, các điểm chốt I, K, M, N, O nằm trên một đường thẳng?

Bài 78

Gợi ý đáp án:

Bài 78

Các tứ giác IEKF, KGMH là hình thoi (gt)

⇒ KI là phân giác của widehat {EKF}, KM là phân giác của widehat{HKG} (tính chất hình thoi)

widehat{EKF} = widehat{HKG} (đối đỉnh)

Rightarrow widehat{K_{1}} = widehat{K_{2}} = widehat{K_{4}} = widehat{K_{5}}

Do đó widehat{K_{2}} +widehat{K_{3}} + widehat{K_{4}} = widehat{K_{2}} + widehat{K_{3}} + widehat{K_{1}},={180^o}

Suy ra I, K, M thẳng hàng.

Chứng minh tương tự, các điểm I, K, M, N, O cùng nằm trên một đường thẳng.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button
You cannot copy content of this page