Công thức tính cấp số cộng

Trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, môn học bổ sung là một trong những môn học rất cần thiết. Các công thức cấp số cộng này đã học trong học kì 2 lớp 11 cùng với số mũ. Mặc dù đây là một phép toán tương đối dễ nhưng nó vẫn còn gây khó khăn cho nhiều học sinh. Bài viết này sẽ trình bày cho bạn một cách hệ thống từ cơ bản đến nâng cao. Hãy tham khảo với KTHN nhé.

Video công thức tính cấp số cộng

Cấp số cộng là gì?

Là dãy 1 dãy số hữu hạn (hoặc vô hạn) thỏa mãn điều kiện hai số liền kề nhau sai khác nhau một hằng số (không đổi).

công thức tính cấp số cộng

Cơ sở lý thuyết

1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 gọi là công sai.

Công thức tính tổng cấp số cộng∀n∈N∗,Un+1=Un+d

Giải thích:

  • Kí hiệu d được gọi là công sai
  • Un+1–Un = d với mọi n ∈ N* ( trong đó d là hằng số còn Un+1;Un là hai số liên tiếp của dãy số CSC
  • Khi hiệu số Un+1–Un phụ thuộc vào n thì không thể là cấp số cộng.

+ Tính chất:

  • Un+1−Un=Un+2−Un+1
  • Un+1=Un+Un+22
  • Nếu như có 3 số bất kì m, n, q lập thành CSC thì 3 số đó luôn thỏa mãn m + q = 2n

+ Số hạng tổng quát: Un=U1+d(n−1)
+ Nếu muốn tính tổng n số hạng đầu thì ta dùng công thức:

  • Un=(a1+an)n2
  • Un=2a1+d(n−1)2n

Cấp số nhân


Định nghĩa
: Cấp số nhân là một dãy số trong đó số hạng đầu khác không và kể từ số hạng thứ hai đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 và khác 1 gọi là công bội.

Công thức tổng quát: Un+1=Un.q

Trong đó

  • n ∈ N*
  • công bội là q
  • hai số liên tiếp trong công bội là Un,Un+1

Tính chất

  • Un+1Un=Un+2Un+1
  • Un+1=Un.Un+2−−−−−−−√ , Un > 0
  • Ta thấy: {Un+1=Un.qun=u1.qn−1,(n≥2)⇒u2k=uk−1.uk+1,(n≥2)

+ Số hạng tổng quát: Un=U1.qn−1

+ Tổng n số hạng đầu tiên: Sn=U1+U2+…+Un=U11−qn1−q

+ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Với |q| < 1 thì Sn=U1+U2+…+Un=U11−q

Lưu ý: Công thức tổng cấp số nhân thường xuyên xuất hiện trong đề thi, tương đối dễ học nên em cần phải nhớ kĩ và chính xác.

Bài tập vận dụng

Bài tập cấp số cộng minh họa

Câu 1. [ Đề thi tham khảo lần 2 năm 2020] Cho cấp số cộng (un) với u1 = 3, u2 = 9. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân

Câu 2. [ Đề thi thử chuyên KHTN Hà Nội] Cho một cấp số cộng có u1=−3;u6=27. Tìm d ?

Dựa vào công thức cấp số cộng ta có:
u6=27⇔u1+5d=27⇔−3+5d=27⇔d=6

Câu 3: [ Đề thi thử chuyên Vinh Nghệ An] Tìm 4 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của 4 số = 20 và tổng các bình phương của 4 số đó là 120.

Giả sử bốn số hạng đó là a + x, a – 3x, a – x, a + 3x với công sai là d = 2x.Khi đó, ta có:
{(a−3x)+(a−x)+(a+x)+(a+3x)=20(a−3x)2+(a−x)2+(a+x)2+(a+3x)2=120⇔{4a=204a2+20×2=120⇔{a=5x=±1
Vậy 4 số đó: 2, 4, 6, 8.

Câu 4. [ Đề thi thử chuyên PBC Nghệ An] Cho dãy số (un) có d = –2; S8 = 72. Tính u1 ?

Ta có:
Sn=n(u1+un)2d=un−u1n−1⇒{u1+u8=2S8:8u8−u1=7d⇒{u8+u1=18u8−u1=−14⇒u1=16.

Câu 5. [ Đề thi thử sở GD Hà Nội] Xác định a để 3 số : 1+3a;a2+5;1−a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

Ba số : 1+3a;a2+5;1−a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
a2+5−(1+3a)=1−a−(a2+5)⇔a2−3a+4=−a2−a−4⇔a2−a+4=0
PT vô nghiệm

Bài tập cấp số nhân (CSN)

Câu 1. Cho CSN (un) vớiu1=−2; q = – 5. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un ?

Từ công thức cấp số nhân:
u2=u1.q=(−2).(−5)=10;u3=u2.q=10.(−5)=−50;u4=u3.q=−50.(−5)=250.
Số hạng tổng quát un=u1.qn−1=(−2).(−5)n−1.

Câu 2. Cho cấp số nhân (un) với u1=−1; q=−110. Số 110103 là số hạng thứ mấy của (un) ?

un=u1.qn−1⇒110103=−1.(−110)n−1⇒n−1=103⇒n=104

Câu 3: Xét xem dãy số sau có phải là CSN hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.
un=−3n−15

Dựa vào công thức cấp số nhân ở trên ta thấy:
un+1un=3⇒(un) là CSN với công bội q = 3

Câu 4: Cho cấp số nhân: −15; a; −1125. Giá trị của a là:

Dựa vào công thức cấp số nhân: a2=(−15).(−1125)=1625⇔a=±125

Câu 5. Hãy tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn (un) với un=12n

Ta có:

  • n = 1 => u1=121=12
  • n = 2 =>u2=122=14

Như vậy, công sai là q=12

Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn nêu ở trên, ta có: S=u11−q=121−12=1

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button