Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

Phương trình nghiệm nguyên thuộc dạng bài tập khó trong chương trình học môn Toán 8, Toán 9. Các bài toán nghiệm nguyên thường xuyên có mặt tại các bài kiểm tra, bài thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 môn Toán.

Phương trình nghiệm nguyên gồm 87 trang, tóm tắt đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập về cách tìm phương trình nghiệm nguyên. Giải phương trình nghiệm nguyên được biên soạn rất khoa học, phù hợp với mọi đối tượng học sinh có học lực từ trung bình, khá đến giỏi. Qua đó giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản. Ngoài ra các bạn tham khảo thêm tài liệu: chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

1. Giải phương trình nghiệm nguyên.

Giải phương trình f(x, y, z, …) = 0 chứa các ẩn x, y, z, … với nghiệm nguyên là tìm tấtcả các bộ số nguyên (x, y, z, …) thỏa mãn phương trình đó.

2. Một số lưu ý khi giải phương trình nghiệm nguyên.

Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng như các biểu thức chứa ẩn trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn. Các phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên là:

Phương pháp dùng tính chất chia hết
Phương pháp xét số dư từng vế
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Phương pháp dùng tính chất của số chính phương
Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn

3. Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT

Dạng 1: Phát hiện tính chia hết của một ẩn

Bài toán 1. Giải phương trình nghiệm nguyên 3 x+17 y=159 (1)

Hướng dẫn giải

Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (1). Ta thấy 159 và 3 x đều chia hết cho 3 nên $17 y vdots 3 Rightarrow y vdots 3$ (do 17 và 3 nguyên tố cùng nhau).

Đặt $mathrm{y}=3 mathrm{t}(mathrm{t} in mathrm{Z})$ thay vào phương trình ta được $3 mathrm{x}+17.3 mathrm{t}=159 Leftrightarrow mathrm{x}+17 mathrm{t}=53.$

Do đó: $left{begin{array}{c}mathrm{x}=53-17 mathrm{t} mathrm{y}=3 mathrm{t}end{array}(mathrm{t} in mathrm{Z})right.$ . Thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình đã cho

Vậy phương trình có nghiệm (x, y)=(53-17 t, 3 t) với t là số nguyên tùy ý.

Bài toán 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 x+13 y=156 (1).

Hướng dẫn giải

– Phương pháp 1: Ta có 13y:13 và 156:13 nên $2xvdots13 Rightarrow xvdots13$ ( vì (2,3)=1).

Đặt x=13 k( $k in Z$ ) thay vào (1) ta được: y=-2 k+12

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: $left{begin{array}{l}x=13 k y=-2 k+12end{array}(k in Z)right..$

– Phương pháp 2: Từ (1) $Rightarrow x=frac{156-13 y}{2}=78-frac{13 y}{2},$

Để $x in Z Rightarrow frac{13 y}{2} in Z Mà (13,2)=1 Rightarrow y vdots 2 Đặt y=2 t(t in Z) Rightarrow x=78-13 t$

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: $left{begin{array}{l}x=78-13 t y=-2 tend{array} quad(t in Z)right..$

Chú ý: Phương trình có dang ax + by = c với a,b,c là các số nguyên.

* Phương pháp giải:

– Phương pháp 1: Xét tính chia hết của các hang tủ.

– Phương pháp 2: Thủ ẩn, sử dụng tính chia hết tìm đî̀u kiện để một phân số trở thành số nguyên.

Bài toán 3. Giải phương trình nghiệm nguyên 23 x+53 y=109.

Hướng dẫn giải

Ta có $x=frac{109-53 y}{23}=frac{23(4-2 y)+17-7 y}{23}=4-2 y+frac{17-7 y}{23}$

Ta phải biến đổi tiếp phân số $frac{17-7 mathrm{y}}{23}$ để sao cho hệ số của biến y là 1 .

Phân tích: Ta thêm, bớt vào tử số một bội thích hợp của 23

$frac{17-7 mathrm{y}}{23}=frac{17-7 mathrm{y}+46-46}{23}=frac{7(9-mathrm{y})-46}{23}=-2+frac{7(9-mathrm{y})}{23}$

Từ đó $x=2-2 y+frac{7(9-y)}{23}$ , Để $x in Z Rightarrow frac{9-y}{23} in Z, do (7,23)=1.$

Đặt $9-mathrm{y}=23 mathrm{t}(mathrm{t} in mathrm{Z}) Rightarrow mathrm{y}=9-23 mathrm{t}$

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: $left{begin{array}{l}x=9-23 t y=53 t-16end{array}(t in Z)right..$

Bài toán 4 . Tìm nghiệm nguyên của phương trình 11 x+18 y=120

Hướng dẫn giải

Ta thấy $11 x vdots 6 Rightarrow x vdots 6$ suy ra x=6 k( $k in Z$ ) thay vào (1) rút gọn ta được: 11 k+3 y=20

Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta được: $y=frac{20-11 k}{3}$

Tách riêng giá trị nguyên của biểu thức này: $mathrm{y}=7-4 mathrm{k}+frac{mathrm{k}-1}{3}$

Lại đặt: $frac{mathrm{k}-1}{3}=mathrm{t}(mathrm{t} in mathrm{Z}) Rightarrow mathrm{k}=3 mathrm{t}+1.$

Do đó: $mathrm{y}=7-4(3 mathrm{t}+1)+mathrm{t}=3-11 mathrm{t} ; quad mathrm{x}=6 mathrm{k}=6(3 mathrm{t}+1)=18 mathrm{t}+6$

Thay các biểu thức trên vào phương trình (1) thấy thỏa mãn

Vậy nghiệm của phưng trình là (x, y)=(18 t+6 ; 3-11 t) với $t in Z$

Chú ý: a) Nếu đề bài yêu cầu tìm nghiệm nguyên dương của phương trình (1) thì sau khi tìm được nghiệm tông quát ta có thể giải điêu kiện:

$left{begin{array}{l} 18 mathrm{t}+6>0 3-11 mathrm{t}>0 end{array} Leftrightarrow-frac{1}{3}<mathrm{t}<frac{3}{11}right.$

Do đó t=0 do t là số nguyên. Nghiệm nguyên dương của (1) là (x, y)=(6,3).

Trong trường hợp tìm nghiệm nguyên dương của (1) ta còn có thể giải như sau: 11 x+18 y=120

Do $mathrm{y} geq 1 nên 11 mathrm{x} leq 120-18.1=102.$

Do x nguyên nên $mathrm{x} leq 9$ . Mặt khác $mathrm{x} vdots 6$ và x nguyên dương nên x=6 $Rightarrow mathrm{y}=3$

Bài toán 5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $6 mathrm{x}^{2}+5 mathrm{y}^{2}=74$

Hướng dẫn giải

Ta có: $6 mathrm{x}^{2}+5 mathrm{y}^{2}=74 Leftrightarrow 6left(mathrm{x}^{2}-4right)=5left(10-mathrm{y}^{2}right)(2)$

Từ (2) suy ra $6left(mathrm{x}^{2}-4right): 5$ , mặt khác $(6,5)=1 Rightarrowleft(mathrm{x}^{2}-4right) vdots 5 Rightarrow mathrm{x}^{2}=5 mathrm{t}+4(mathrm{t} in mathrm{N})$

Thay $mathrm{x}^{2}-4=5 mathrm{t}$ vào (2) ta có: $30 mathrm{t}=5left(10-mathrm{y}^{2}right) Leftrightarrow mathrm{y}^{2}=10-6 mathrm{t}$

Suy ra: $t in{0 ; 1}$

Với t=0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với t=1 ta có: $left{begin{array}{l}x^{2}=9 y^{2}=4end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x=pm 3 y=pm 2end{array}right.right.$ .

Mặt khác x, y nguyên dương nên x=3, y=2.

Vậy phương trình có nghiệm (x, y)=(3,2).

Dạng 2: Phương pháp đưa về phương trình ước số

* Cơ sở phương pháp:

Ta tìm cách đưa phương trình đã cho thành phương trình có một vế là tích các biểu thức có giá trị nguyên, vế phải là hằng số nguyên.

Thực chất là biến đổi phương trình về dạng: $mathrm{A}(mathrm{x} ; mathrm{y}) cdot mathrm{B}(mathrm{x} ; mathrm{y})=mathrm{c} trong đó mathrm{A}(mathrm{x} ; mathrm{y}), mathrm{B}(mathrm{x} ; mathrm{y})$

Dạng 3: Phương pháp tách ra các giá trị nguyên.

* Cơ sở phương pháp: Trong nhiều bài toán phương trình nghiệm nguyên ta tách phương trình ban đầu thành các phần có giá trị nguyên để dễ dàng đánh giá tìm ra nghiệm, đa số các bài toán sử dụng phương pháp này thường rút một ẩn (có bậc nhất) theo ẩn còn lại.

Bài toán 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: $x y-2 y-3 y+1=0$